Математика курсында ‹‹Тригонометриялық функциялар›› тақырыбын оқыту әдістемесі және талдаудың басы.

Мектепте тригонометриялық функцияларды зерттеуде екі негізгі кезеңді бөліп көрсетуге болады:

1. Геометрия курсында бұрыштық аргументтің тригонометриялық функцияларымен алғашқы танысу (8-9 сынып).

2. Алгебра курсында тригонометриялық функциялар туралы білімдерін жүйелеу және кеңейту және талдауды бастау (10-11 сыныптар).

Бірінші кезеңде зерттелетін тәуелділіктердің функция екендігі дәлелденбейді немесе көрсетілмейді. Бұрыш өзгерген кезде синус пен косинустың өзгеруі қиғаштың қасиеттеріне сүйене отырып дәлелденеді. Бұл ұғымдар геометрия курсы үшін абстрактілі, сондықтан олар өте нашар меңгеріледі. Бірақ одан да қиын — 900-ден жоғары аргументке көшу. Өйткені, біз тригонометриялық функцияларды тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы анықтадық, ал өздеріңіз білетіндей, тікбұрышты үшбұрышта градус өлшемі 900-ден үлкен бұрыш болуы мүмкін емес. Бұл фактіні түсіндіру үшін қазірдің өзінде осы кезеңде шеңберді қарастыру керек және бұл алгебра және талдаудың басында шеңберді пайдалана отырып, сандық аргументтің тригонометриялық функцияларын енгізуге арналған пропедевтикалық жұмыстың бір түрі.

Екінші кезеңде бұрыштық аргументтен сандық аргументке көшу жүреді. Курстың басынан бастап біз кез келген өлшемдегі бұрыштардың тригонометриялық функцияларын қарастыруымыз керек — бұл оқушыларды алдымен -дан-ге дейін өзгеруі мүмкін шама ретінде бұрышпен таныстыру керек дегенді білдіреді. Геометрия курсында мұндай ұғым пайда болған жоқ, сондықтан оны екінші кезеңде толтыру керек.

Осылайша, екінші кезеңде де жұмыс істеген жөн сандық шеңберді енгізу қажеттілігі туындайды.

Сандық шеңбер моделін зерттеуге арналған пропедевтикалық жұмыс ретінде берілген радиусы бар шеңбердің төрттен бір бөлігінің доғаларының ұзындығын, оның үшінші және жартысын табуға арналған геометриялық есептерді қарастырған жөн.

Алынған нәтижелерді қорытындылай келе, оқушыларды әрі қарай жұмыс істеу үшін ерікті емес, дәл бірлік радиусы бар шеңберлерді таңдау тиімдірек екеніне жеткізу керек.

Сандық шеңбермен жұмыс істеу барысында оқушылар келесі дағдыларды қалыптастыруы керек:

1) санның бөлшектерімен өрнектелген және санның бөлшектерімен өрнектелмейтін берілген сандарға сәйкес сандар шеңберінен нүктелерді табу;

2) сандық шеңбер доғалары үшін аналитикалық жазбалар жасау;

3) нүктенің кез келген координаталық ширекке жататынын анықтау;

4) екі координат жүйесінде бір уақытта жұмыс істеу — қисық және тікбұрышты декарттықта және бір координат жүйесінен екіншісіне өтуді жүзеге асыру;

5) сандық шеңбер нүктелерінің координаталарын табу және берілген координаталар бойынша сандық шеңбердегі нүктелерді іздеу;

Ол үшін келесі типтегі тапсырмаларды қарастырған жөн:

1)Санды шеңбердегі/2, 9, 26 /3, -5 /4, — 7 /6….. нүктелерін табыңыз.

2) Санды шеңбердегі 1, 2, -7, 4.5, -31 … нүктелерін табыңыз.

3) 21/4, — 37/6, 10, -95 нүктелері қай ширектерге жататынын анықтаңыз.

4) Сандық шеңберде теңсіздіктерді қанағаттандыратын t нүктелерін белгілеңіз:

а)

б)-

5) /4, -3/2, 23/6, -13/3….. сандарына сәйкес нүктелердің декарттық координаталарын табыңыз.

6) Координаталары (1/2; /2), (- /2; /2) нүктелерге сәйкес келетін оң және теріс сандарды табыңыз; (/2; — 1/2), (-1,0)….

7) Ординаталары (абсциссалары) — /2, 1/2, — /2, 0, -1-ге тең, абциссалары (ординаталары) теріс болатын сандық шеңбердегі нүктелерді тауып, олардың қандай сандар екенін жазыңдар.

8) Ординатасы (абсциссасы) > — /2 болатын сандық шеңбердегі нүктелерді тауып, олардың қандай сандарға сәйкес келетінін жаз.

Мұғалімнің арсеналында сандық шеңберлері бар кем дегенде екі орналасу болуы керек. Олардың біріншісінде санау нүктелердің орналасуын көрсете отырып, оң бағытта жүргізіледі 0, /6, /4, /3, /2, 2/3…. , екіншісінде-теріс нүктелерде -0, — /6, — /4, — /3, — /2, -2/3….. сонымен қатар, оқушылар жауап бергеннен немесе сұраққа жауап беруге тырысқаннан кейін екінші макетті іліп қою ұсынылады: «егер нүкте оң емес, теріс бағытта қозғалса не болады?».

Бұл мотивациялық тапсырма сандық шеңбер мен сандық сызық арасында тағы бір рет байланыс орнатуға мүмкіндік береді. Шынында да, сандық сызықта тек оң ғана емес, сонымен бірге теріс мәндерді де, кездейсоқ үлкен мәндерді де кейінге қалдыруға болады. Сандық шеңберде сіз дәл солай жасай аласыз, бірақ нүктелер мен сандар арасындағы тікелей сәйкестік бір-біріне сәйкес келетіндігін және әр нүктенің шеңберінде бір-бірінен 2к-де ерекшеленетін шексіз көптеген атаулар бар екенін ескеру керек, мұнда . Бұлоқушыларнақты түсініп, білуі керек басты айырмашылық.

Ол үшін сандық шеңберді дөңгелекпен, ал нүктелер белгіленген шексіз жіппен сандық сызықты салыстыруға болады. Жіпті дөңгелекке орап, тиісті нөлдік нүктелерді алдын-ала біріктіре отырып, 2-де ерекшеленетін нүктелер дөңгелектегі бір орынға түсетінін көруге болады, өйткені бірлік радиустың сандық шеңберінің ұзындығы дәл 2құрайды .

Шеңбердегі нүктелер мен сандар арасындағы сәйкестіктің түсініксіздігімен байланысты көптеген мәселелер түр есептерін шешкен кезде туындайды:

«Табу сандық шеңбер нүктесінен бастап ординатой (абсциссой) басым /2 және жазу, қандай күндері олар сәйкес келеді».

Доғаны сипаттайтын мұндай теңсіздіктер бастапқы кезеңде екі қадам жасау ұсынылады. Бірінші қадамда

 аналитикалық жазбасының «өзегі» деп аталатын , ал екінші қадамда

Көп жағдайда мұны шынымен ауыртпалықсыз жасауға болады, бірақ егер теңдеудің немесе теңсіздіктің тамырларын таңдағанда немесе функцияға белгілі бір шектеулер қойылса, к параметрі бәрін қабылдай алмайды, мысалы, тек оң немесе тіпті мәндер?

+жазуға дағдыланған оқушылар k параметрі қандай мәндерді қабылдауы мүмкін екендігі туралы ойланбастан, бұл жағдайда +2 жазады, бұл олардың шешімін автоматты түрде қате етеді.

Бұл, мысалы, «4, Z» және «2, 2Z» жиынтығы сәйкес келетіндігін түсінбеуге әкеледі. Бұл өз кезегінде 4 кезеңге тең функцияларды қарастыруда қиындықтар тудыруы мүмкін. Бірақ мұндай функциялар «Тригонометриялық функциялар»тақырыбын зерттеуде көп уақытты алады.

Осылайша, сіз кез-келген, тіпті ең кішкентай бөлшектерді де толықтай қалдыра алмайсыз, өйткені сандық шеңберді зерттеу кезінде пайда болатын кішігірім кемшіліктер тригонометриялық функциялардың өздерін зерттеу барысында білімдегі үлкен олқылықтардың пайда болуына әкелуі мүмкін.

Енді біз сандық шеңбермен тәуелсіз объект ретінде жұмыс істеуді үйрендік, тригонометриялық функциялардың өздерін енгізуді бастауға болады.

Сандық шеңберді қолдана отырып, тригонометриялық функциялардың анықтамалары балалардың санасында бір қарапайым себепке сәйкес келмейтінін ұмытпаңыз: бірінші кезеңде анықтамалар геометриялық түсіндіруде – дұрыс үшбұрыштың жақтарының қатынасы ретінде берілді.

Психологиядан белгілі: «егер қандай да бір маңызды тұжырымдама алғаш рет енгізілсе, онда онымен бірге жүретін бірлестіктер оқушының санасына қатты әсер етеді. Кейінгі әсерлер әлсіз және бұл ұғым алғаш рет пайда болған көріністі өшіре алмайды» .

Біз көптеген шамалардың кеңею кезеңінде синус пен косинустың «жаңа» анықтамаларын енгізу үшін шеңберді қолданғанымызға қарамастан, бұрыш қабылдаған кезде тікбұрышты үшбұрыш пен сандық шеңбер арасындағы қатынасты тағы бір рет жүргізу керек.

Естеріңізге сала кетейік, қандай да бір себептермен бұл фактіге мектеп оқулықтарында тиісті мән берілмейді, сондықтан мұғалім осы кезеңде тригонометриялық функцияларды енгізген кезде келесі ойлардың айтылатынына назар аударуы керек.

Кабышова Гульнур Советовна

«СЕМЕЙ ҚАЛАСЫНЫҢ ШӘКӘРІМ АТЫНДАҒЫ УНИВЕРСИТЕТІ» КеАҚ